Teorema kalkulus

Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus,yaitu pendiferensialan dan pengintegralan.Bagian pertama dari teorema ini,kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama,menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.

Bagian kedua,kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua,mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675).Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan murid Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) menyistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Intuisi

Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.

Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel. Dalam notasi Leibniz:

${\frac {dx}{dt}}=v(t).$

Dengan menataulang dengan persamaan ini,terlihat bawah;

$dx=v(t)\,dt.$

Dengan logika di atas, sebuah perubahan x (atau Δx) adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal dx. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengizinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.

Pernyataan formal

Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus.Secara kasar,bagian pertama berkutat pada turunan sebuah antiturunan,sedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan dan integral tertentu.

Bagian pertama

Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua x pada [a, b], dengan

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,.$

Maka F adalah kontinu pada [a, b], terdiferensialkan (differentiable) pada interval terbuka (a, b), dan

$F'(x)=f(x)\,$

Untuk semua X pada (a,b)

Bagian kedua

Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua.

Misalkan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah antiturunan dari f, yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua x pada [a, b],

$f(x)=F'(x)\,.$

maka

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.$

Korolari

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah sebuah fungsi yang untuk semua x pada [a, b],

$f(x)=F'(x)\,.$

Maka untuk semua x pada [a, b],

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)$